Automobil o hmotnosti 1000 kg má rychlost 54 km·h-1 a vjel na most, jehož tvar v profilu odpovídá části kružnice o poloměru r = 50 m. V této situaci je důležité určit, jakou silou působí auto na most na vrcholu křivosti a jak se tato síla liší od běžné tíhy na vodorovné silnici.
Základní fyzikální principy a volba soustavy
Při řešení úlohy nejdříve z hlediska inerciálního systému (spojeného se Zemí) je třeba rozpoznat síly působící na auto v nejvyšším bodě mostu a vykreslit volnou silovou diagnostiku. Auto se na vrcholu pohybuje po kružnici, takže jeho pohyb je v inerciálním rámci charakterizován nutností působení výsledné (dostředivé) síly směrem do středu kružnice. Z výčtu známých sil působí na auto svisle dolů tíhová síla mg a svisle vzhůru tlaková (normálová) síla mostu. Dostředivou roli zde plní výslednice těchto svislých složek.
Alternativně lze problém podle zadání vyřešit i z hlediska neinerciálního systému spojeného s automobilem, který se rovnoměrně otáčí kolem středu kružnice. V tomto systému je auto v klidu a na něj kromě skutečných sil působí i efekt „dostředivého“ charakteru, který v inerciálním přístupu nahrazují známé síly (tíhová, normálová). Obě metody vedou ke stejnému vztahu pro velikost tlakové síly mostu na auto.
Potřebné velikosti a převody jednotek
Nejprve převedeme rychlost z jednotek km·h-1 na m·s-1:
- v = 54 km·h-1 = 54 · (1000/3600) m·s-1 = 15 m·s-1.
- hmotnost: m = 1000 kg.
- poloměr křivosti: r = 50 m.
- předpokládané zrychlení volného pádu: g = 10 m·s-2 (použité v zadání).
Rozbor sil v nejvyšším bodě mostu
Na automobil v nejvyšším bodě působí dvě hlavní vertikální síly: tíhová síla mg směrem dolů a tlaková (normálová) síla F směrem vzhůru. Protože auto se pohybuje po kružnici, musí výslednice těchto sil poskytovat dostředivé zrychlení směrem dolů (do středu kružnice). Z Newtonova druhého zákona v radiální (svislé) ose tedy platí:
mg − F = m · (v^2 / r)
Odtud vyjádříme tlakovou sílu mostu F:
F = m (g − v^2 / r)
Výpočet tlakové síly na vrcholu mostu
Dosadíme numerické hodnoty:
- m = 1000 kg
- g = 10 m·s-2
- v = 15 m·s-1
- r = 50 m
v^2 / r = (15 m·s-1)^2 / 50 m = 225 / 50 = 4,5 m·s-2.
g − v^2 / r = 10 − 4,5 = 5,5 m·s-2.
F = m (g − v^2 / r) = 1000 kg · 5,5 m·s-2 = 5500 N.
Výsledek: Auto působí na most silou F = 5500 N.
Komentář k výsledku
V úloze jsme počítali, jak velkou sílu (tíhu) působí auto na vydutý most. Zjistili jsme, že tíha auta v dané situaci je menší, než kdyby auto stálo na vodorovném úseku (kde by tíha byla mg = 1000·10 = 10000 N). Důvodem je, že část gravitačního působení je při pohybu po vrcholu kružnice „spotřebována“ na zajištění dostředivého zrychlení směrem dolů - výsledná normálová síla je proto menší.
Můžete si také spočítat, při jaké rychlosti by auto přestalo most tlačit úplně - tedy kdy by F = 0. Z rovnice F = m(g − v^2/r) dostaneme hraniční rychlost v_hod = sqrt(g·r). Pro zadané hodnoty to dává v_hod = sqrt(10·50) = sqrt(500) ≈ 22,36 m·s-1 ≈ 80,5 km·h-1. Při této rychlosti by auto na vydutý most netlačilo (normálová síla by byla nulová) a při větší rychlosti by na vrcholu byla od mostu odlehčená (teoreticky by se přestalo dotýkat povrchu).
Souvislosti a praktické poznámky
- Výpočet ukazuje, že geometrie mostu a rychlost vozidla významně ovlivňují síly působící na vozidlo a konstrukci mostu. Konstrukce mostů bere v úvahu rozložení sil po kolech a samozřejmě i bezpečnostní rezervy pro vyšší rychlosti a dynamické efekty.
- V reálných situacích je výsledná normálová síla rozložena mezi všechna čtyři kola vozidla a zohledňují se i lokální nerovnosti povrchu, pružení vozidla a přenos zatížení mezi nápravami.
- Pro zjednodušené modely (jako tento) platí dobrá shoda s výsledky z inerciálního i neinerciálního pohledu; obě metody vedou ke stejnému vztahu F = m(g − v^2/r).
Tabulka: klíčové veličiny a výsledky
| Velikost | Hodnota |
|---|---|
| Hmotnost auta m | 1000 kg |
| Rychlost v | 54 km·h-1 = 15 m·s-1 |
| Poloměr křivosti r | 50 m |
| Gravitační zrychlení g | 10 m·s-2 |
| Dostředivé zrychlení v^2/r | 4,5 m·s-2 |
| Normálová (tlaková) síla F | 5500 N |
| Tíha na vodorovné silnici mg | 10000 N |
| Hraniční rychlost pro odlehčení (F=0) | ≈ 22,36 m·s-1 ≈ 80,5 km·h-1 |
Praktické úkoly pro čtenáře
- Spočítejte, jak by se změnil výsledek, kdyby poloměr křivosti mostu byl r = 100 m při stejné rychlosti v = 54 km·h-1.
- Určete normálovou sílu, jestliže auto jede rychlostí 90 km·h-1 (25 m·s-1) po stejném mostě r = 50 m; pozorujte, že při této rychlosti může dojít k odlehčení.
- Vypočítejte rozložení síly na jedno kolo, pokud auto váží 1000 kg a předpokládáme rovnoměrné zatížení na všechna čtyři kola.