Automobil se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po přímé silnici. Velikost zrychlení automobilu je 2 m s-2, počáteční rychlost je nulová. Jakou dráhu ujede automobil za 4 sekundy od začátku pohybu?
Rovnoměrně zrychlený pohyb: základní vztahy
Rovnoměrně zrychlený pohyb je pohyb se stálým zrychlením. Pokud počáteční rychlost je v0 a zrychlení je a, pak rychlost v čase t je v(t) = v0 + a t a dráha s(t) = v0 t + 1/2 a t^2. Pro situaci s v0 = 0 a a = 2 m/s^2 dostaneme:
- v(t) = 0 + 2 t
- s(t) = 0 · t + 1/2 · 2 · t^2 = t^2
Po 4 sekundách je dráha s(4) = 4^2 = 16 m. Správná volba je tedy 16 m.
Další úloha se týká průtoku vody potrubím: voda protéká potrubím o průřezu 1,0 m^2 rychlostí 4 m/s. Jakou rychlostí protéká voda v zúženém místě potrubí o průřezu 0,5 m^2?
V ideální kapalině a při konstantním průtoku platí souvislost Q = v A (tok). Proto rychlosti v1 a v2 v místech s různými průřezy splývají s plochami: v1 A1 = v2 A2. S A1 = 1,0 m^2, A2 = 0,5 m^2 a v1 = 4 m/s dostaneme:
- v2 = v1 A1 / A2 = 4 × 1,0 / 0,5 = 8 m/s
Rychlost v zúženém místě je 8 m/s.
Úloha 1: atlet a dráha 400 m při konstantní rychlosti
Za jakou dobu uběhne atlet dráhu 400 m, běží-li stálou rychlostí 8 m∙s-1? Doba t = s / v = 400 / 8 = 50 s.
Úloha 2: rychlost světla a doba cesty ze Slunce na Zemi
Vzdálenost Země od Slunce je 150 milionů km. Rychlost světla ve vakuu je 300 000 km/s. Doba doručení signálu: t = d / c = 150 000 000 km / 300 000 km/s = 500 s ≈ 8,33 min.
Úloha 3: vlaky na trati
a) Délka osobního vlaku 160 m jedoucího rychlostí 54 km/h a protisměr rychlík délky 240 m. Rychlosti v km/h převedeme na m/s: 54 km/h = 15 m/s, 240 m vlaku. Předpokládejme, že rychlík míjí strojvedoucího po dobu 6 s. Rychlost rychlíku při míjení vychází z relativní rychlosti těchto dvou vlaků; pokud jedou ve stejném směru, relativní rychlost je rozdíl jejich rychlostí. Potřebujeme více údajů o rychlostech rychlíku, ale uvedené výsledky pro tuto úlohu jsou: b) doba míjení 4 s.
Poznámka: V textu uvádíme zmíněné hodnoty z úloh, ale v rámci našeho výkladu se soustředíme na obecné postupy: převody jednotek, relativní rychlosti a používání vzorců pro rovnoměrně zrychlený pohyb.
Úloha 4: nákladní auto a osobní automobil
Od vyjetí nákladního auta a následujícího osobního automobilu ve stejném směru po půl hodině se vozidla potkají. Nákladní auto jede 60 km/h, osobní auto 80 km/h. Tečka: Do křižování dojde po 2 hodinách a vzdálenost od startu je 120 km.
Úloha 5: traktoru a motocyklu proti sobě
Ze dvou míst 6 km od sebe vyjedou současně proti sobě traktor (36 km/h) a motocykl (72 km/h). Doba a vzdálenost setkání: 3 min 20 s a 2 km od místa startu traktoru.
Úloha 6: letadla nad radnicí
Nad věží proletí letadlo rychlostí 600 km/h, o 15 minut později proudové letadlo 1200 km/h. Když a kde dojde k dostižení?
Úloha 7: předjíždění na přímé silnici
Osobní auto předjíždí autobus, počáteční odstup 20 m, po předjetí se opět vrací do odstupu 20 m. Auto jede 72 km/h, autobus 54 km/h. Délky vozidel 5 m a 15 m. Jak dlouho trvá předjíždění a jakou dráhu auto spotřebuje?
Úloha 8: cestující na palubě jezera
Loď pluje rychlostí 3 m/s. Cestující A jde dopředu rychlostí 3 m/s vůči lodi, B jede proti směru rychlostí 3 m/s, C stojí na místě. Jak rychle se pohybují jednotliví cestující vzhledem ke klidné hladině?
Úloha 9: plavec v řece
Plavec má rychlost vzhledem k vodě 1,5 m/s, proud řeči 3,5 m/s. Rychlosti vzhledem ke břehům: a) po proudu, b) proti proudu. Vypočítáme jako součet nebo rozdíl těchto rychlostí.
Úloha 10: grafy dráhy a rychlosti
Nakreslete grafy dráhy s(t) a rychlosti v(t) pro určené pohyby. Z grafů si odvodíme vztahy s = vt a s = 1/2 at^2 pro rovnoměrně zrychlený pohyb. Příklad: kamení padající z výšky s gravitačním zrychlením a = g = 10 m/s^2 z výšky 15 m: v čase t = 1 s je rychlost 10 m/s a dráha 5 m; v čase t = 2 s dráha 20 m, atd.
Ukázka řešení s dvouvozů: vlak se zrychlením a = 2 m/s^2 až na určitou rychlost. Přepočet v0 a v1 na m/s a zobrazení rovnoměrně zrychleného pohybu s odpovídajícími grafy.
Poznámka k postupům
Pro výpočty používáme standardní vzorce: s = v0 t + 1/2 a t^2, v = v0 + a t, a = Δv/Δt. Z grafů rychlosti lze určovat polohu jako obsah pod křivkou. Příklady zahrnují i situace s bržděním a dvě tělesa s různými rychlostmi, jejichž setkání odpovídá rovnicím x1(t) = x2(t).