V tomto textu se soustředíme na klíčové pojmy kinematiky: rychlost, dráha a zrychlení, a na jejich vzájemné vztahy pro rovnoměrný i nerovnoměrný pohyb. Budeme využívat příklady a řešení z poskytnutého materiálu, aby bylo jasné, jak se počítají průměrná rychlost, dráha při změně rychlosti a jaké vzorce platí pro pohyb po dálnici, v řece či na vodorovném terénu.
1. Průměrná rychlost a rovnice pohybu na dálnici
Na dovolenou jedete autem po dálnici 3 hodiny rychlostí 110 km.h-1. Poté na 30 minut zastavíte. Pokračujete dvouhodinovou jízdou stálou rychlostí 90 km.h-1 až do cíle. Určete průměrnou rychlost cestování.
Řešení: Rozbor: Průměrná rychlost cestování byla v = 92,73 km.hod-1.
Průměrná rychlost tedy není jen aritmetický průměr rychlostí, ale celková dráha dělená celkovým časem. Pro složené úseky spojujeme jednotlivé dráhy, celková dráha s = s1 + s2 + ... a celkový čas t = t1 + t2 + ....
2. Dálnice a překročení rychlosti
Dálnice má délku 25 km. Největší povolená rychlost je 110 km.hod-1. Řidič tento úsek projel za 12 minut. Překročil největší povolenou rychlost na dálnici?
Řešení: s = 25 km; t = 12 min = 720 s. Překročení speedu o 15 km.hod-1 lze vyčíst z rozdílu mezi skutečnou rychlostí a limitní rychlostí: v = s/t = 25 km / (0,2 h) = 125 km.hod-1, tedy překročení 15 km.hod-1.
3. Kolona a prměrná rychlost spojky
Kolona vojenských vozidel má délku 2 km. Pohybuje se stálou rychlostí 30 km.hod-1. Vzdálenost od čela kolony ke poslednímu vozidlu byla prošla spojka průměrnou rychlostí 50 km.h-1. Zpět rychlostí 60 km.h-1. Jaký čas na to spojka potřebovala a jakou dráhu prošla?
Řešení: (uvedené v částečném textu by vyžadovalo doplnění konkrétních hodnot času a dráhy; z poskytnutého textu není explicitní výsledná čísla. Základní postup: s = d = 2 km, v1 = 30 km/h, v2 = 50 km/h, zpět 60 km/h; čas na přepravu určujeme podle t = s/v. Celkové časy a celková dráha se sečtou.)
4. Volně padající těleso a intervaly
Volně padající těleso má v bodě A rychlost 3,0 ms-1, v bodě B rychlost 7,0 ms-1. Zjistěte, za jaký čas ujede vzdálenost AB. Jaká je vzdálenost bodů A a B? Jakou rychlostí těleso dopadne, pokud jeho pohyb z bodu B na zem trvá ještě 2 s.
Řešení: Předpokládejme konstantní zrychlení. Δv = 7 − 3 = 4 m/s. Δt tedy z Δv = aΔt; ab a t. Další výpočty vyžadují doplnění konkrétních hodnot z řešení hry pro více přesnosti.
5. Plavec na řece a efekt proudu
Plavec, jehož rychlost vzhledem k vodě je 0,85 ms-1, plave v řece, kde voda teče rychlostí 0,40 ms-1. Určete čas, za který dopluje z místa A do B, vzdáleného 90 m, pokud plave a) po proudu, b) proti proudu, c) kolmo na proud (výsledná rychlost kolmá na proud).
Řešení: a) po proudu: v = 0,85 + 0,40 = 1,25 ms-1, t = s/v = 90 / 1,25 = 72 s. b) proti proudu: v = 0,85 − 0,40 = 0,45 ms-1, t = 90 / 0,45 = 200 s. c) kolmo na proud: výsledek vyžaduje vektorové sčítání; rychlost v výsledná = sqrt(0,85^2 + 0,40^2) ≈ 0,93 ms-1, t ≈ 90 / 0,93 ≈ 97 s.
6. Motorová loď a průchod proti/po proudu
Motorová loď prošla 120 m při plavbě po proudu za 14 s, proti proudu za 24 s. Určete rychlost lodi vzhledem k vodě (v1) a rychlost proudu řeky (v2).
Řešení: s = 120 m, t1 = 14 s, t2 = 24 s. v1 + v2 = s/t1 = 8,57 m/s, v1 − v2 = s/t2 = 5,0 m/s. Řešením získáme: v1 = 6,79 m/s, v2 = 1,79 m/s.
7. Automobilista na první třetině dráhy
Automobilista prošel první třetinu dráhy rychlostí v1, další dvě třetiny rychlostí v2 = 72 km.h-1. Průměrná rychlost v byla 36 km.h-1. Vypočtěte v1.
Řešení: Použijeme definici průměrné rychlosti: v = s/t. Složené dráhy s1 = s3 = s/3 a s2 = 2s/3; časy t1 = s1/v1, t2 = s2/v2, t3 = s3/v2. Celkový čas t = s1/v1 + (s/3)/v2 + (s/3)/v2. Po úpravách a dosazení v = s/t = 36 km/h získáme v1 = 108 km/h.
8. Brzdná dráha a kolize
Řidič osobního auta jedoucího rychlostí 90 km.h-1 spatřil ve vzdálenosti 60 m před sebou stojící nákladní auto. Zatlačil brzdy a dosáhl zpomalení a = 5 ms-2. Jaká byla brzdná dráha osobního auta? Narazilo do překážky?
Řešení: Počáteční rychlost v0 = 90 km/h = 25 m/s. Brzdná dráha s = (v^2 − v0^2) / (2a) = (0 − 25^2) / (2 × (−5)) = 125 m. Předpokládaná brzdná dráha je 125 m, takže automobil měl dost času zastavit na vzdálenosti 125 m; vzhledem k informaci o 60 m dopředu by zřejmě do překážky nenarazil, pokud by brzdil hladce. V praxi by však reagoval jinak, ale v textech se objevují různé varianty řešení.
9. Raketa a druhá kosmická rychlost
Raketa dosáhne druhé kosmické rychlosti 11 km.s-1 po ujetí dráhy 200 km. Za jaký čas to dosáhne? Jaké je její zrychlení?
Řešení: Vztah mezi dráhou, rychlostí a zrychlením vyžaduje další údaje o počáteční rychlosti a mechanice raketového pohybu; v poskytnutém textu nejsou uvedena explicitní čísla pro výpočet. Obecně lze použít s = v0 t + 0,5 a t^2, pokud a je konstantní, nebo řešit dynamiku pohybu s proměnným zrychlením.
10. Vozík na kolejích - zrychlení a dráhy
Vozík na kolejích se pohybuje se stálým zrychlením a = 0,08 m.s-2 (v0 = 0, s0 = 0). Vypočítejte dráhy, které prošel vozík v čase t = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s. Zjistěte, jaké dráhy projde v jednotlivých po sobě jdoucích sekundách. V jakém poměru jsou tyto dráhy?
Řešení: Dráha s = 0,5 a t^2. Pro t = 1,2,3,4,5 s dostaneme s = 0,5 × 0,08 × t^2 = 0,04 t^2: 1 s → 0,04 m, 2 s → 0,16 m, 3 s → 0,36 m, 4 s → 0,64 m, 5 s → 1,0 m. Sumární dráha za jednotlivé sekundy roste čtvercovým vzorem.
11. Srážka vlaků a brzdění
Strojvedoucí rychlíku, který se pohyboval rychlostí v1 = 108 km.h-1, spatřil ve vzdálenosti 180 m před sebou nákladní vlak pohybující se rychlostí v2 = 32,4 km.h-1. Strojvedoucí začal brzdit a vlak zpomalil se zpomalením a = 1,2 ms-2. Zjistěte, zda se vlaky srazí.
Řešení: Zprvu vypočítáme relativní pohyb a časy setkání. Pokud za vzdálenost 180 m se rychlíky a vlaky mohou srazit, záleží na čase zastavení a rychlosti vůle. Vypočtením časů zastavení a trajektorií by se vyčetlo, zda dojde ke srážce. V textu není uvedeno explicitní výsledek, doplnění by vyžadovalo výpočet t = 180 / (v1 − v2 − a t) atd.
12. Sekundová a minutová ručička
Sekundová ručička hodinek je o třetinu delší než minutová. V jakém poměru jsou rychlosti koncových bodů?
Řešení: Rychlosti koncových bodů jsou úhly na kruhu; délkové rozdíly mezi jejich polohami v jednotkách času s různou rychlostí vedou k poměru rychlostí. Konkrétní výpočet vyžaduje poloměry kol a dny.
13. Země a Slunce
Země obíhá kolem Slunce přibližně rovnoměrným pohybem po kružnici za 365,25 dne. Jaká je rychlost Země, pokud vzdálenost Země − Slunce je přibližně 150 milionů kilometrů?
Řešení: Rychlost v = obvod / čas = 2πR / T = 2π · 150 000 000 km / (365,25 d) ≈ 29,78 km/s. To odpovídá přibližně 107 000 km/h.
14. Družice a oběžná doba
Rychlost rovnoměrného pohybu družice po kružnici kolem Země je 7,46 km.s-1. (R = 6378 km) Určete oběžnou dobu T družice kolem Země.
Řešení: T = 2πR / v = 2π · 6378 km / 7,46 km/s ≈ 5350 s ≈ 89,2 min.
15. Rychlost motocyklisty na duté kouli
Jakou nejmenší rychlost musí mít motocyklista, má-li jezdit na vnitřním povrchu duté koule o poloměru R = 6 m všemi směry? Těžiště motocyklu a jezdce je 0,9 m od povrchu. Pro zobrazení řešení se přihlaste.
16. Sedačka kolotoče
Sedačka kolotoče je upevněna ve vzdálenosti 240 cm od středu otáčení a vykonává 18 otáček za minutu. Určete jí obvodovou rychlost a dostředivé zrychlení.
Řešení: Obvodová rychlost = v = ω r, kde ω = 2π n / 60, s n = 18 ot/min. Takže ω = 2π · 18 / 60 = 1.885 rad/s. r = 2,4 m. v = ω r ≈ 4,52 m/s. Dostředivé zrychlení a = v^2 / r ≈ 4,52^2 / 2,4 ≈ 8,54 m/s^2.
Dodatečná cvičení a úlohy
DALŠÍ ÚLOHY pokrývají rychlosti, dráhy a časy podle standardních vzorců v kinematice. 1) Za jak dlouho uběhne atlet dráhu 400 m, když běží stálou rychlostí 8 m ∙ s−1? 2) Vzdálenost Země od Slunce je 150 milionů km. Rychlost světla ve vakuu je 300 000 km/s. Za jakou dobu dorazí světelný signál ze Slunce na Zemi? 3) Po dvoukolejné trati jedou v jednom směru osobní vlak délky 160 m stálou rychlostí 54 km/h, v protisměru rychlík délky 240 m. a) Jakou rychlostí jede rychlík, který míjí strojvůdce osobního vlaku po dobu 6 s? b) Po jakou dobu míjí osobní vlak strojvůdce rychlíku? (a) 90 km/h, b) 4 s) 4) Z určitého místa vyjíždí nákladní auto a za půl hodiny za ním ve stejném směru osobní automobil. Předpokládáme, že nákladní auto jede stálou rychlostí 60 km/h, osobní automobil stálou rychlostí 80 km/h. Za jakou dobu od vyjetí nákladního auta a v jaké vzdálenosti od místa startu se budou obě vozidla míjet? (2 hod, 120 km) 5) Ze dvou míst, jejichž vzdálenost je 6 km, vyjedou současně proti sobě traktor a motocykl. Traktor rychlostí 36 km/h, motocykl 72 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od startu traktoru se vozidla setkají? (3 min 20 s, 2 km) 6) Nad věží radnice proletělo letadlo 600 km/h a za 15 minut po něm proudové letadlo 1200 km/h. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od radnice bude první letadlo dostiženo letadlem proudovým? 7) Na přímé silnici předjíždí osobní auto pomalejší autobus. Délky vozidel 5 m a 15 m. Jakou dobu předjíždění trvá a jakou dráhu k tomu osobní auto potřebuje? 8) Na klidné hladině jezera pluje výletní loď rychlostí 3 m/s. Cestující A jde rychlostí 3 m/s po směru lodi, B proti směru 3 m/s, C stojí. Jak rychle se pohybují vzhledem k vodě? 9) Plavec ve řece: rychlost vzhledem k vodě 1,5 m/s, proud 3,5 m/s. Jak rychle plavec plave vzhledem ke břehům po proudu a proti proudu? 10) Nakresli grafy dráhy a rychlosti pro vybrané pohyby. 11) Vlak s nákladním vlakem a sraz? 12) Sekundová ručička a minutová: poměr rychlostí koncových bodů. 13) Země a Slunce: rychlost Země. 14) Oběžná doba družice. 15) Rychlost motocyklu na vnitřním povrchu duté koule. 16) Dostředivé zrychlení kolotoče a obvodová rychlost. ÚLOHY a tabulky uvnitř textu slouží k ukázkám použití vzorců pro s= s0 + v0 t + 0,5 a^2 t^2, v = v0 + a t, a = Δv/Δt a dalšími.
Jak najít průměrnou rychlost a okamžitou rychlost? Kurz matematické analýzy 1
tags: #fyzika #konstatni #zrychleni #automobilu #ujeta #vzdalenost