V tomto článku se podíváme na problém dvou aut pohybujících se po silnici podél železniční tratě, kde vlak jedoucí stálou rychlostí prochází podél ní. První auto jede proti směru pohybu vlaku, druhé ve stejném směru. Podle zadání projede první auto podél celého vlaku za 12 sekund a druhé za 72 sekund. Budeme vyvozovat rychlosti aut z rekonstrukce dráhy a vyřešíme soustavu rovnic pro odlišné konfigurace pohybu.
Podmínky úlohy a základní rovnice
Nechť délka vlaku je s a rychlost vlaku je v. Auto jedoucí proti směru vlaku má rychlost vrázce v1 a auto jedoucí ve stejném směru s rychlostí v2. Při vzájemném pohybu proti sobě se dráha s = (v + v1) t, pokud se počítá dráha mezi začátky pohybu aut a koncem vlaku, a při pohybu stejným směrem s = |v2 − v| t. Podobně platí, že pokud auto projede podél celého vlaku, vyjádříme s jako součin času a relativní rychlosti.
První případ: auto jedoucí proti směru pohybu vlaku
Podle zadání první auto projede podél celého vlaku za 12 s. Když jedou proti sobě, jejich relatívní rychlost je v + v1 a dráha, kterou auto musí překonat, je délka vlaku s. Proto platí:
s = (v + v1) · 12
Podle této rovnice lze vyjádřit vztah mezi s a v1, pokud známe v.
Druhý případ: auto jedoucí ve stejném směru jako vlak
Druhé auto projede podél vlaku za 72 s, když jedou ve stejném směru. Relativní rychlost mezi autem a vlakem je |v − v2|. Jelikož vlak se pohybuje rychleji nebo pomaleji než auto, můžeme psát:
s = |v − v2| · 72
Opět získáme vztah mezi s a v2.
Řešení soustavy rovnic a interpretace
Máme dvě rovnice:
- s = (v + v1) · 12
- s = |v − v2| · 72
Pokud chceme získat konkrétní čísla, potřebujeme znát délku vlaku s a rychlost vlaku v, případně jednu ze dvou rychlostí aut v1 nebo v2. Zuvedené rovnice ukazují, že:
- Relativní rychlost při jízdě proti sobě je vyšší: v + v1 = s / 12.
- Relativní rychlost při jízdě ve stejném směru je nižší: |v − v2| = s / 72.
Rozdíl směrování pohybu aut ovlivňuje relativní rychlosti, a z toho vyplývá, že s může být určeno z poměrů časů 12 s a 72 s. Obecná interpretace říká, že:
- delší čas (72 s) odpovídá menší relativní rychlosti (ve stejném směru)
- kratší čas (12 s) odpovídá vyšší relatívní rychlosti (proti sobě)
Možné scénáře a jejich dopady na rychlosti
Na základě výše uvedeného lze diskutovat několik scénářů, aniž bychom znali s a v konkrétně:
- Pokud je vlak rychlejší než obě auta, pak v > v2 a |v − v2| = v − v2, což dává s = (v − v2) · 72.
- Pokud je vlak pomalejší než první auto (což je méně pravděpodobné), pak v1 > v a s = (v + v1) · 12.
- Pro čisté řešení je potřeba doplnit další data, například délku vlaku nebo rychlosti vlak a jednoho z aut.
Praktické poznámky k podobným úlohám
- V podobných úlohách je klíčové vydefinovat relativní rychlosti mezi objekty a jejich směr.
- Převody mezi pohybem proti sobě a ve stejném směru se odlišují signem v rovnicích pro dráhu.
- Bez dodatečných údajů je výsledná rychlost aut určena pouze do poměru s délkou vlaku, nikoliv do konkrétních hodnot.
Vizualizace ukazuje, jak se mění relatívní rychlosti v závislosti na směru pohybu vozidel vzhledem k vlaku. Grafické znázornění pomáhá pochopit, proč se čas pro projetí podél vlaku liší při různých směrech.
Relativní rychlost - základní úvod
Další ilustrace může ukázat dvojici rovnic graficky, kde osa x reprezentuje rychlost vozidel, osa y reprezentuje relativní rychlost vzhledem k vlaku, a čáry znázorňují situace proti sobě a ve stejném směru.
Potřebná data pro úplné řešení
Abychom mohli spočítat přesné rychlosti aut, potřebujeme minimálně jedno z následujících:
- celkovou délku vlaku s a rychlost vlaku v,
- nebo rychlosti dvou aut (v1 a v2) a délku vlaku s.
Bez těchto údajů zůstává řešení otevřené a vychází z rovnic: s = (v + v1) · 12 a s = |v − v2| · 72.