Osobní automobil hmotnosti 500 kg projíždí neklopenou zatáčkou s poloměrem 50 m. Rozchod kol je 1,3 m a výška těžiště nad vozovkou je 0,6 m. Jakou největší rychlostí může automobil projet zatáčkou, aniž by se převrátil?
Spočítejte si výslednici dvou sil - tíha z těžiště svisle dolů a vodorovná odstředivá síla ven ze zatáčky. Pokud směr výslednice protne vozovku mezi koly, auto se nepřevrátí. Hmotnost auta nehraje roli, odstředivé zrychlení je a = v^2 / r, tíhové g = 9,81 m/s^2. Dál už vystačíte s goniometrickými funkcemi.
Analýza sil a stabilita v zatáčce
V zatáčce se působí tíha těžiště (svislá směrem dolů) a odstředivá síla působící ven ze zatáčky. Výslednice těchto dvou sil určí, zda se vozidlo převrátí nebo zůstane stabilní. Hmotnost auta tedy hraje roli jen prostřednictvím gravitační síly, ale hmotnost sama o sobě neomezuje rychlost nutnou k převrácení, pokud je výpočet proveden z hlediska zlomků síly a polohy těžiště.
Pro stabilitu je klíčové, zda výslednice sil prochází mezi koly. Pokud ano, nedojde k převrácení. Významnou roli hraje výška těžiště a poloměr zatáčky, které určují úhel, ve kterém gravitační síla a odstředivá síla působí vzhledem k podkladu.
Podrobnější výpočet
Odstředivá síla je F_k = m · v^2 / r a gravitační síla je F_g = m · g, kde m je hmotnost vozidla, v rychlost a r poloměr zatáčky. Při pohledu na síly v horizontální rovině se řeší úhel, který výslednice sil vytváří oproti horizontu. Pokud tahle výslednice protně vozovku mezi koly, auto nepřevrátí.
V tomto konkrétním případě se s hmotností 500 kg a hodnotami r = 50 m a g = 9,81 m/s^2 hledá maximální rychlost, při níž je výslednice nad hranu kol, tj. jeví se jako neutrální poloha.
Pro zjednodušení lze použít přístup, že maximum v zatáčce nastává, když tlačítko výslednice přesáhne vyznačený hraniční bod mezi koly, čímž vznikne okamžik převrácení. To znamená, že při hranici rovnováhy musí být tangentní horizontální složka provedené síly vyrovnána gravitačním složením.
Následně lze použít vztahy pro odstředivou sílu a tíhu spolu s geometrií vozu: výška těžiště h = 0,6 m a poloměr zatáčky r = 50 m určují úhel, ve kterém výsledná síla působí vůči rovině kol. Pro praktický výpočet se pak řeší tangenciální a normálové složky výslednice.
Rychlostní hranice a praktické závěry
Jako nápověda lze užít odhad: pokud by bylo kinematicky nutné, aby výslednice síly procházela mezi koly, pak by čisté výpočty ukázaly maximální hodnotu rychlosti, která zohledňuje goniometrické složky úhlu mezi výslednicí a vozovkou. Dál už lze pokračovat samotným řešením podle kroků uvedených výše.
Jako další poznámka k řešení: hmotnost auta nehraje roli pro určení samotné odstředivé zrychlení, ale hraje roli v tom, jak velká je gravitační síla. Dále je důležité zohlednit výšku těžiště a poloměr zatáčky, které ovlivňují stabilitu. Celkově platí, že čím nižší těžiště a širší rozchod kol, tím větší je stabilita při dané rychlosti.
- Veličiny a vztahy: v = sqrt(a · r) a = g · tan(θ) s ohledem na rovnováhu sil.
- Podmínky pro převrácení: výslednice mimo interkolovou plochu.
Výsledek musí být určený numericky z reálných podmínek a vyžaduje krokově sestavit pohybový a sílový model vozidla na klouzání po zatáčce.
